Identificación Estable de Fuentes Asociadas a Focos Epilépticos Ubicadas sobre la Corteza / Stable Identification of Sources Associated with Epileptic Focus on the Cerebral Cortex

Resumen Objetivo: Presentar un algoritmo estable que determina, a partir de mediciones electroencefalográficas, los parámetros de fuentes de tipo dipolar asociadas a focos epilépticos ubicados sobre la superficie de la corteza cerebral. Metodología: Se utiliza un problema de contorno para establecer correlaciones entre la fuente y la medición. El problema se divide en dos subproblemas lineales y en cada uno de ellos, se utilizan el método de mínimos cuadrados y la regularización de Tikhonov para encontrar soluciones estables. Estos subproblemas son problemas mal planteados en el sentido de Hadamard, debido a la inestabilidad numérica que presentan, es decir, pequeños cambios en las mediciones pueden producir grandes variaciones en la solución de cada problema. El parámetro de regularización de Tikhonov fue elegido usando el método de la curva L. Para hallar la solución del problema de contorno se utiliza el método de las series de Fourier y el Método del Elemento Finito. Resultados: Se propuso un tipo de fuente para representar a los focos epilépticos en la corteza cerebral y un algoritmo estable para el problema de identificación de los parámetros de dichas fuentes. Se desarrollaron ejemplos sintéticos y programas en MATLAB para el caso de geometría simple bidimensional. Originalidad: La separación del problema original en dos subproblemas así como los ejemplos sintéticos son producto de esta investigación. Conclusión general: Se propuso un algoritmo estable que determina a los parámetros de fuentes de corriente dipolar definidas en la corteza cerebral.

Abstract Objective: To present a stable algorithm that determines, from electroencephalographic measurements, the parameters of dipolar sources associated with epileptic foci located on the cerebral cortex. Methodology: A boundary value problem is used to establish correlations between the sources and the measurements. The problem is divided into two linear subproblems and in each one, the method of Minimum Square and the Tikhonov regularization are used for finding stables solutions. These subproblems are an ill-posed problem in the Hadamard sense, which is due to the numerical instability, that is, small changes in the data can produce substantial variations in the solution of each problem. The Tikhonov regularization parameter was chosen using the L curve method. To find the solution of the boundary value problem are used the Fourier series method and the Finite Element Method. Results: A type of source that represents the epileptic foci on the cerebral cortex and a stable algorithm for finding the parameter of these sources were proposed. Synthetics examples and MATLAB programs were developed for the case of bidimensional geometry. Originality: The separation of the original problem into two subproblems and the synthetics examples are a product of this research. Conclusion: A stable algorithm was proposed for determining the parameters of the dipolar current defined on the cerebral cortex.

Simplificación del problema inverso electroencefalográfico a una sola región homogénea con condición de Neumann nula / Simplification of the Inverse Electroencephalographic Problem to One Homogeneous Region with Null Neumann Condition

Objetivo: Presentar una simplificación del Problema Inverso Electroencefalográfico (PIE) del caso de varias capas conductoras a una región homogénea con condición de Neumann Nula. Metodología: Se divide el PIE en tres problemas, dos de los cuales se resuelven usando el potencial medido en el cuero cabelludo y con estas soluciones y el tercer problema se lleva a cabo la simplificación. Para validar la simplificación se genera un ejemplo sintético usando el modelo de esferas concéntricas. Resultados: Por medio de la simplificación la fuente se determina a partir de la ecuación de Poisson con una condición de Neumann nula y un dato adicional sobre la frontera de la región homogénea, el cual se obtiene de la medición. Esto es válido para regiones generales con fronteras suficientemente suaves. Adicionalmente, para el caso de esferas concéntricas, se plantea el PIE para el caso de una fuente dipolar (que representa a focos epilépticos) usando esta simplificación y la técnica de la función de Green. Conclusión: La simplificación presentada aquí permite analizar el PIE en una región lo cual simplifica su estudio teórico y numérico. En particular, puede ser útil para el análisis del problema de identificación de los parámetros de una fuente dipolar.

Objective: To give a simplification of the Inverse Electroencephalographic Problem (IEP) from the case of multilayer conductive medium to the case of a homogeneous region with null Neumann condition. Methodology: IEP is divided in three problems, two of which are resolved using the measurements of potential on the scalp and with these solutions and the third problem the simplification is carried out. In order to validate the simplification a synthetic example is generated using the model of concentric spheres. Results: Through of simplification, the source is determined from the Poisson equation with null Neumann condition and an additional data on the boundary of the homogeneous region, which is obtained from the measurement. This is valid for regions with smooth boundary. Additionally, in the case of concentric spheres, it is statement the identification problem for dipolar sources (representing epileptic focus) using this simplification and Green function. Conclusion: The simplification presented here allows us to analyze the inverse problem in one region, which simplifies the theoretical and numerical study. In particular it may be useful to analyze the problem of parameter identification of a dipolar source.